Les matrius, pas a pas.
De les primeres files i columnes a Gauss, Gauss-Jordan, rang, determinants, inverses i sistemes amb paràmetres. Experimenta de veritat: canvia les dades, resol tu els càlculs i deixa que NOVA et guiï sense fer la feina per tu.
14 estacions per entendre el perquè
Pots començar de zero o saltar directament al contingut de 2n de batxillerat. Cada estació inclou una explicació, un exemple i una comprovació conceptual.
Calculadora transparent
Edita les matrius; no veuràs només un resultat: cada operació inclou la justificació i, al producte, pots assenyalar una cel·la per descobrir la fórmula de fila × columna.
Matriu A
Matriu B
Tria una operació
Gauss i Gauss-Jordan, fila a fila
Transforma una matriu ampliada aplicant operacions elementals. Pots fer les teves jugades, desfer-les o veure cadascuna de les transformacions correctes.
Matriu ampliada [A | b]
La línia vertical separa coeficients i termes independents. Les operacions actuen sobre tota la fila.
Fes la teva operació
Resolució guiada
Quin mètode triarem?
Compara la resolució del mateix sistema per eliminació de Gauss, reducció de Gauss-Jordan, Cramer i inversa. Canvia el vector de termes independents i descobreix per què alguns mètodes deixen de ser aplicables.
Com decideixes el mètode a les PAU?
- Gauss: sistemes quadrats o rectangulars; és la millor via quan cal argumentar el rang o discutir diversos casos.
- Gauss-Jordan: molt útil per veure variables lliures i calcular inverses. És més llarg manualment, però dona la matriu reduïda.
- Cramer: només sistemes quadrats amb determinant no nul. Sovint ràpid en 2×2 o quan es demanen fórmules.
- Matriu inversa: X=A⁻¹b, només si A és quadrada i invertible. També permet verificar el resultat.
Cap mètode no substitueix la justificació, el plantejament i la interpretació de les unitats. Si det(A)=0, discuteix els rangs; no dedueixis automàticament que no hi ha solució.
Reptes autocorrectius
Tria un nivell. Si t’equivoques, NOVA explica què convé revisar i et dona una pista. Pots utilitzar mètodes diferents sempre que el resultat sigui matemàticament equivalent.
Com s'apliquen al món real?
Preus i vendes, consum d’energia, pressupostos, materials, transport i transformacions geomètriques. Cada situació conserva el significat físic de les files, les columnes i les unitats.
Aprendre a argumentar a l'examen
Pràctica original inspirada en els continguts observats en proves oficials de Catalunya. Les justificacions obertes disposen de rúbrica, no d’una qualificació automàtica inventada.
Itinerari PAU de Catalunya: el contingut exacte depèn de la matèria. A Matemàtiques es treballen operacions, inverses, determinants, rang i sistemes de fins a tres incògnites, també amb paràmetres. Consulta els criteris oficials de Matemàtiques i Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. Els nostres exercicis són originals, no reproduccions literals de cap prova oficial.
Exercicis amb resposta verificable
Justifica el procediment · rúbriques docents
Gauss sense passos ocults
Tria una operació elemental, calcula tota la fila nova i escriu els valors. NOVA comprova les fraccions exactament i t’explica errors de signes, omissions de termes independents i transformacions no reversibles. Qualsevol procediment matemàticament correcte és vàlid.
La teva pissarra
Calcula tu l’operació
NOVA no resol automàticament justificacions obertes; aquests raonaments continuen sota la valoració docent.
De la matriu a l’espai
Modifica una matriu i compara l’objecte original (blau) amb el transformat (ambre). En 2D visualitzes l’àrea i en 3D el volum amb una projecció orbital que pots girar amb el ratolí o el dit. El determinant indica l’escala i l’orientació.
Simulació geomètrica interactiva
En 3D, arrossega sobre el dibuix per girar la càmera. La figura és una projecció de punts calculats en tres dimensions.
Controla la transformació
Mou els coeficients de la matriu
Matriu actual
Què passa quan canvia t?
Investiga sistemes 2×2 i 3×3 amb paràmetres. Detecta els valors singulars, calcula els rangs, classifica el sistema i comprova cada cas per Gauss-Jordan, amb fraccions exactes.
Configura el problema
Prova un valor crític:
Justificació completa
Mostra tots els passos de Gauss-Jordan
Rouché–Frobenius: rang(A)=rang([A|b])=n → única; rangs iguals però inferiors a n → infinites; rangs diferents → cap.
Practica i entén el teu error
Exercicis originals generats matemàticament, amb solucions exactes, pistes i reconeixement de resultats equivalents. Les estadístiques són locals i no inclouen els textos de les respostes.
El teu progrés
El diagnòstic és orientatiu: un error pot ser un descuit o una dificultat de comprensió. La recomanació no equival a cap diagnòstic clínic o psicopedagògic.
Segueix practicant especialment sistemes, determinants i rangs. Pots canviar de tema en qualsevol moment.
Simulacre amb rúbrica
Dos itineraris de pràctica original, amb exercicis de matrius i sistemes. La correcció automàtica només avalua resultats matemàtics verificables; el professorat valora la justificació del procediment.
Aquests enunciats són originals. No constitueixen un examen oficial ni reprodueixen la seva estructura o ponderació completa.
Del problema real al model matemàtic
Defineix les incògnites, representa les dades, transforma tu mateix les files i interpreta el resultat. Les comprovacions són exactes i accepten equacions equivalents o canvis d'ordre de les files.
1. Identifica les incògnites
Assigna a cada lletra el significat que tindrà en el teu model. Pots triar un ordre diferent.
2. Construeix la matriu ampliada [A|b]
Introdueix els coeficients del sistema i, a la dreta, els termes independents. Pots multiplicar les equacions per qualsevol factor no nul o intercanviar les files.
Editor matemàtic: escriu nombres enters, decimals o fraccions com 3/2. Les caselles a la dreta de la línia són els termes independents.
3. La teva pissarra de Gauss
Pots resoldre el sistema amb les operacions de files que prefereixis; no hi ha un camí únic. També pots escollir Cramer o matriu inversa per a la interpretació.
Editor matemàtic de passos
4. Comprova i interpreta els resultats
Escriu el resultat de cada variable. NOVA contrastarà els valors amb el sistema original. Explica en paraules què signifiquen: aquesta justificació queda pendent de revisió del professorat.
Informe formatiu del taller
Recomptes anònims del dispositiu. Diferenciem errors de plantejament, d'operacions i d'interpretació.
Tres plans, quantes solucions?
Visualitza els plans de tres equacions simultànies i relaciona la seva intersecció amb els rangs de la matriu. Pots girar la perspectiva amb el ratolí o el dit i modificar el segon terme independent.
Blau, taronja i violeta: tres plans. Les línies discontínues o la perspectiva poden amagar parts de la figura; consulta la classificació algebraica exacta.
Experimenta amb el sistema
Equacions
Una intersecció comuna no es dedueix només de la imatge; el motor matricial calcula rang(A) i rang([A|b]) amb fraccions exactes.
Aprendre no és encertar a la primera.
Els encerts, intents i pistes es guarden localment. NOVA proposa reforç quan cal.